÷ƒ’À;è TeX output 1997.11.05:0828‹ÿÿÿÿ f4ù ýÆffŸï™š‘~Ló/Kñ`yff cmdunh10ÚNew–ÌÍY‘þÌÌork“Journal“of“MathematicsŽŸff‘Qà¤„ff2ŽŸ’¦—±ï5html:ó|{Ycmr8¹New–ÕXY‘ÿJªork“J.“Math.ï html:‘Ç ï8html:ó2Ç@Écmbx8É3Aï html:“¹(1997)“ï1{.ŽŽŽŽŽ !™š þff‘wéó#ÂÖN ffcmbx12ÎThree–ffResults“on“Mixing“Shaps3esŽŸ ’ÑÜ3ïhtml:ó%ÂÖN cmbx12ÐT.‘€W‘þàardŽ‘2ãï html:ŽŸŸ½p‘Zà¤ó¡f…åcmcsc8ÈAbstraÑÇct.ŽŽ’Š§Ö¹Let–¡|ó×2cmmi8»“¹b¿\»I‘Þ‘¹is“a“mixing“shapš¿a“mixing“shap˜e“for“»¹"“are“trivialŽ¡‘Zà¤ones–ÕXfor“whicšÃŽh“»I‘u*¹con˜tains“a“translate“of“»J‘À[¹.Ž¡‘fà¤If–Ÿ×all“shap–¹do˜es“not“preclude“rigiditÃŽy‘ÿJª.Ž¡‘fà¤Finally‘ÿJª,‘nXw•ÃŽe›‹sho“w˜that˜mixing˜of˜all˜orders˜in˜cones˜|˜a˜propï html:©’›Åó&Œ-ø cmcsc10ÑContentsŽŸ‘óKñ`y cmr10²1.‘ ïhtml:In¸ãtroGductionï html:’x×1ŽŽ¤‘2.‘ ïhtml:ProGofs–UUof“Theorems“ïhtml:1.1Ž›Çï html:“and“ïhtml:1.2Ž˜ï html:ï html:’»øÎ3ŽŽ¡‘3.‘ ïhtml:ProGof–UUof“Theorem“ïhtml:1.3Ž‘Çï html:ï html:’çjš6ŽŽ¡‘4.‘ ïhtml:Remarksï html:’ñ¿9ŽŽ¡‘ïhtml:Referencesï html:’(ñÄ9ŽŽŸïhtml:ï html:¡ó$X«Qcmr12Ï1.Ž‘ãˆÐIn tro`ductionŽŸïhtml:ï html:¦‘²Let–¹.ó b> cmmi10µ‘Â¨²bGe“a“measure-preserving“action“of“ó,ˆ¶È msbm10×ZŸü^ÿó 0e—rcmmi7´dŽ‘ bà²on“a“standard“probabilit¸ãy“spaceŽ¦(µX:©;–ª¨ó !",š cmsy10¸BMÛµ;“²)›o€(µd–ò´¸“²2).‘ÀGIf˜µX‘8b²is˜a˜compact˜metrizable˜abGelian˜group,‘v µ˜²is˜Haar˜measure,Ž¦and–ë6eac¸ãh“µŸÿó)f$Øcmbx7ÔnŽ‘rR²is“a“group“automorphism,‘pthen“µ‘ô°²is“an“algebraic“dynamical“system“(asŽ¦studied–UUin“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ],“where“the“notions“bGelo¸ãw“are“found).Ž¦‘The–<ÿaction“µ‘Fy²is“rigid“if“there“is“a“sequence“ó(ò"V cmbx10ÓnŸÿ´jŽ‘Ý¸!‘I11“²(going“to“innit¸ãy“meansŽ¦leaš¸ãving–´—nite“sets)“with“the“propGert˜y“that“µ²(µA–xa¸\“µŸÿÔnŸóO Ú\cmmi5³jŽŽ‘ C}µA²)–eÛ¸!“µ²(µA²)–´—as“µj‘øf¸!‘eÛ1“²for“allŽ¦µA–Ç¸2“BMÛ².‘3NThe–™éaction“µ‘£c²is“mixing“of“all“orders“if“for“all“µr‘5¸‘Ç²1“and“for“all“sets“µBŸÿóÙ“ Rcmr7±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨BŸÿ´rŽŽ¦²in‘UU¸BMÛ²,ŽŸqÐ‘hYélimŽŸ#Œ‘)]¦ÔnŸ¥³lŽ–æÒóO!â…cmsy7·2ó-qyÀmsbm7ØZŸþ³dŽ‘ 2Ò±andŽ‘ÔnŸ¥³lŽ“·ÔnŸÖÃ³lŸþ‡ó°Ü0ncmsy5¶0ŽŽ‘›E·!1‘±forŽ‘— 1·´l `Ÿþ¶0Ž‘¾Ó´ï html:²2Ž’ÕGó1F C– cmbxti10ÜT.‘$øWar‘ÿi>dŽŽ N ýÌ‘6à¤²The–UUshapGe“µF‘*§²=‘Ç¸fÓnŸÿ±1Ž›|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ÓnŸÿ´rŽ‘m¢¸g“²is“mixing“for“µ‘^Ï²if“for“all“sets“µBŸÿ±1Ž˜µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨BŸÿ´rŽ‘Â÷²in“¸BMÛ²,ŽŸD"’ÅlimŽŸ‡’™Çà´k+B·!1ŽŽ’´Ïâµ‘ª¨Ÿîæ\« ŽŸóý‘ ÷i´rŽŸ€‘ `Ÿöü«\ŽŽŸ‘ •T´l `±=1ŽŽŽ‘GµŸÿ·´k+BÔnŸ¥³lŽŽ‘²(µBŸÿ´lŽ‘È²)Ÿîæ\«!ŽŽ‘Læ³²=Ÿóý‘3Ö´rŽŸ€‘ÇŸöü«YŽŽŸ‘ÑÂ´l `±=1ŽŽ‘8Þµ²(µBŸÿ´lŽ‘È²)µ:ŽŸ<ÿ‘6à¤²The–±ïshapšGe“µF‘~²is“a“minimal“non-mixing“shap˜e“for“µ‘»i²if“µF‘~²is“non-mixing“but“an¸ãy“subsetŽ¤‘6à¤of–k µF‘Ï/²is“mixing.‘´¨A‘kšshapšGe“is“admissable“if“it“do˜es“not“lie“on“a“line“in“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²,‘q3it“con¸ãtainsŽ¡‘6à¤0,–UUand“for“anš¸ãy“µk‘¯>‘Ç²1“the“setŸü‘À±1Ž‘ˆˆŸ£&‰fekŸ¿˜´kŽŽŽŽ‘ 'KµS‘èâ²con˜tains“non-in˜tegral“pGoin˜ts.Ž¡‘Bà¤F›ÿ*ªor–(the“last“mixing“propGert•¸ãy˜,‘tak“e›(µd–'x²=“2˜for˜simplicit¸ãy˜and˜let˜µ‘˜¢²bGe˜a˜measure-Ž¡‘6à¤preserving–Y:×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“on“(µX:©;–ª¨¸BMÛµ;“²)–Y:as“bGefore.‘}uAn“orien¸ãted“line“through“the“origin“inŽ¡‘6à¤×ZŸü^ÿ±2Ž›J=²is–ÍÊa“half-line“starting“at“the“origin.‘Û&An“orien¸ãted“cone“¸C‘%1²=‘Ú(µ`Ÿÿ±1Ž–|sµ;‘ª¨`Ÿÿ±2Ž“²)–ÍÊin“×ZŸü^ÿ±2Ž˜²is“theŽ¡‘6à¤region›ÎbGet•¸ãw“een˜an˜ordered˜pair˜(µ`Ÿÿ±1Ž–|sµ;‘ª¨`Ÿÿ±2Ž“²)˜of˜orien¸ãted˜half˜lines,‘ì?including˜the˜edges.Ž¡‘6à¤Notice–that“if“µ`Ÿÿ±1Ž‘C‹²=‘Çµ`Ÿÿ±2Ž‘—‰²then“the“cone“(µ`Ÿÿ±1Ž–|sµ;‘ª¨`Ÿÿ±2Ž“²)–comprises“exactly“a“half-line.‘^]The“coneŽ¡‘6à¤dened–%èbš¸ãy“no“lines“is“all“of“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s².‘ãGiv˜en“a“collection“¸fµ`Ÿÿ´jŽ‘6¬¸g“²of“half-lines,‘Z there“is“anŽ¡‘6à¤assošGciated–ócollection“of“orien¸ãted“cones“¸fCŸÿ´jŽ‘6¬¸g“²where“¸CŸÿ´jŽ‘ÄŸ²is“the“cone“asso˜ciated“to“theŽ¡‘6à¤ordered–UUpair“(µ`Ÿÿ´jŽ‘6¬µ;‘ª¨`Ÿÿ´jg±+1Ž‘V¯²)“(if“there“are“µn“²lines,“with“µj‘Ëk²+‘8à1“reduced“moGd“µn²).ŽŸI‘Bà¤The–e×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“µ‘n–²is“mixing“of“all“orders“in“the“orienš¸ãted“cone“¸C‘ús²if“for“ev˜ery“µr‘(€¸‘ác²1Ž¡‘6à¤and–UUall“sets“µBŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨BŸÿ´rŽ‘Â÷²in“¸BMÛ²,“ïhtml:ï html:ŽŸµéŸ€ŽŽ’†følimŽŸ‡‘VMQÔnŸ³jŽ–¼a·2C‘Y±andŽ‘+JÔnŸ³jŽ“·!1‘±forŽ‘— 1·´jg·´rŽŽ’ËØµ‘ª¨Ÿîæ\« ŽŸóý‘ ÷i´rŽŸ€‘ `Ÿöü«\ŽŽŸ‘ •T´l `±=1ŽŽŽ‘GµŸÎ:·±(ÔnŸó†›Zcmr5°1Ž–ç ±+ÔnŸ°2Ž“±+·Ž‘ ±+ÔnŸ¥³lŽ‘æÒ±)Ž‘@U²(µBŸÿ´lŽ‘È²)Ÿîæ\«!ŽŽ‘z"M²=Ÿóý‘3Ö´rŽŸ€‘ÇŸöü«YŽŽŸ‘ÑÂ´l `±=1ŽŽ‘8Þµ²(µBŸÿ´lŽ‘È²)µ:ŽŽŽŸ€ŽŽ‘6à¤²(1)ŽŽŽŽŽ‘6à¤ŸÇïhtml:ï html:Ÿ }rÓTheorem‘ÕT1.1.ŽŽ‘G¸Îó0ý': cmti10ÛIf–¾ÕµS‘RbÛis“any“admissable“shap›ÿ}'e,‘É‘then“ther˜e“is“an“algebr˜aic“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²Û-actionŽ¡for–Úwhich“µS›–gÛis“a“minimal“non-mixing“shap‘ÿ}'e.‘iï html:Ÿ 9ÓTheorem‘ÕT1.2.ŽŽ‘G¸ÎÛIf–ýµ‘˜Ûis“an“algebr›ÿ}'aic“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²Û-action“for“which“every“shap˜e“is“mixing,‘GthenŽ¡µ‘ŸºÛis––@mixing“of“al‘‚Øl“or›ÿ}'ders.‘E In“gener˜al,‘Èüa“me˜asur˜e-pr˜eserving“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²Û-action“for“which“everyŽ¡shap›ÿ}'e–“çis“mixing“c˜an“b˜e“rigid.Ž¦‘²Notice–4«that“the“notion“of“mixing“shapGes“still“mak¸ães“sense“for“µd–Ç²=“1,‘;3and–4«there“itŽ¡is–UUnot“clear“whether“in“general“all“shapGes“mixing“implies“mixing“of“all“orders.Ž¡‘F‘ÿ*ªor–ýthe“next“theorem,‘'notice“that“if“an“action“µ‘‘²is“mixing“of“all“orders“in“theŽ¡orienš¸ãted–&acones“assoGciated“to“a“family“of“lines“¸L²,‘/Åthen“the“same“is“true“of“an˜y“largerŽ¡family‘…¸LŸü^ÿ·0ŽŽ‘kƒ¸‘(L².‘ XIt–…folloš¸ãws“that“the“ob‘Ž8ject“of“in˜terest“is“the“smallest“set“of“lines“forŽ¡whicš¸ãh–åqthe“propGert˜y“holds.‘"Examples“related“to“parts“(b)“and“(c)“of“Theorem“ïhtml:1.3Ž‘Çï html:Ž¡are–UUgivš¸ãen“bGelo˜w“(Example“ïhtml:3.5Ž‘Çï html:).ŽŸ‰¨ïhtml:ï html:Ÿ €ÓTheorem‘ÕT1.3.ŽŽ‘G¸ÎÛL–ÿ}'et›üzµ‘ôÛb“e˜a˜mixing˜algebr“aic˜×ZŸü^ÿ±2Ž‘|sÛ-action˜on˜the˜c“omp“act˜ab“elian˜gr“oupŽ¡µX‘ÈâÛ.‘3‹Then–Žther›ÿ}'e“is“a“c˜ol‘‚Øle˜ction“¸L–¾¦²=“¸fµ`Ÿÿ´jŽ‘6¬¸g–ŽÛof“half-lines“in“×ZŸü^ÿ±2Ž‘™Ûwith“the“pr˜op˜erty“thatŽ¡µ‘™ÎÛis–Tmixing“of“al‘‚Øl“or›ÿ}'ders“in“the“oriente˜d“c˜ones“asso˜ciate˜d“to“the“family“of“lines.Ž¡Mor–ÿ}'e“over,ŽŸ"‘²(a)ŽŽŽ‘ÇÛif–“çµX‘\ÉÛis“c–ÿ}'onne“cte“d–“çthen“¸L“Ûmay“b›ÿ}'e“taken“to“b˜e“empty;Ž¡‘qÇ²(b)ŽŽŽ‘ÇÛif–“çµ‘aÛis“exp›ÿ}'ansive“then“¸L“Ûmay“b˜e“taken“to“b˜e“nite;Ž¡‘Ž:²(c)ŽŽŽ‘ÇÛif–üyµ‘óÛis“not“exp›ÿ}'ansive“and“µX‘Å[Ûis“not“c˜onne˜cte˜d,‘then“the“smal‘‚Ølest“such“set“¸LŽ¡‘ÇÛmay–“çc›ÿ}'ontain“a“line“thr˜ough“every“p˜oint“in“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|sÛ.ŽŽŽŒ‹ |4ù ýš’™œ=ÜThr–ÿi>e“e›$øR“esults˜on˜Mixing˜Shap“es‘]»˜ïhtml:ï html:²3ŽŽŽ N‘6à¤ ýÂïhtml:ï html:Ÿ Ï2.Ž‘ãˆÐPro`ofs–€of“Theorems“ïhtml:1.1Ž›@ï html:“and“ïhtml:1.2Ž˜ï html:ŽŸïhtml:ï html:¤‘²Let–f'µR‘yî²bšGe“an¸ãy“ring;‘µáa“p˜olynomial“µf‘Ú§¸2‘ÇµRÇ²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ– ¼tµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨uŸû¸ä·±1ŽŸK[´dŽŽ“²]–f'ma¸ãy“b˜e“written“Ÿøü«PŽ‘ôbŸÔn·2´SŽ‘Ô¼µcŸÿÔnŽ–‡ÓuŸü^ÿÔnŽ“µ;ŽŸ˜²where–POeac¸ãh“µcŸÿÔnŽ‘N4¸2›ÇµRÇ¸nf²0¸g²,‘QQand“ÓuŸü^ÿÔnŽ‘×k²is“the“monomial“µuŸûŽ:´nŸ°1ŽŽŸl±1ŽŽ‘Fµ:–ª¨:“:Ž‘X•uŸû~•´nŸ¥³dŽŽŸ…ª´dŽŽ‘ ¤P².‘pThe“set“µS‘Z¥²=˜SuppŽ‘(µf‘²)Ž¡is–jthe“suppšGort“of“µf‘².‘\$If“µR‘(1²is“an“in¸ãtegral“domain,‘!fthen“the“p˜olynomial“µf‘'ù²is“absolutelyŽ¡irreducible–#|if“µf‘7²is“irreducible“o•¸ãv“er–#|an“algebraic“closure“of“the“eld“of“fractions“of“µRÇ².Ž¡A‘çpšGolynomial–is“primitiv¸ãe“if“its“supp˜ort“includes“the“origin“and“is“not“an“in¸ãtegerŽ¡dilate–UUof“another“set.Ž¡‘Let›Yvó2%n² eufm10ÝR–x¢²=“×Z²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ– ¼tµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨uŸû¸ä·±1ŽŸK[´dŽŽ“²]˜and˜ÝRŸÿ´pŽ‘ ô²=‘x¢×FŸÿ´pŽ‘ŸR²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ“µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨uŸû¸ä·±1ŽŸK[´dŽŽ“²].‘~*F‘ÿ*ªollo¸ãwing˜[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ],‘š~if˜ÝM˜²isŽ¡a–$ùmoGdule“o•¸ãv“er–$ùÝR²,‘Xâthen“the“µd“²commš¸ãuting“automorphisms“giv˜en“b˜y“m˜ultiplicationŽŸ b•¸ãy›:dµuŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨uŸÿ´dŽ‘ä²ha“v“e˜as˜duals˜µd˜²comm“uting˜automorphism˜of˜µX‘ ½²=Ÿýd8‘„A«cŽŸ›È‘DÛÝMŽŽ‘Ã¨²,‘s¨dening˜anŽ¡algebraic–‡'×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-action“µ zŸü^ÿó3Xí&eufm7ÞMŽ‘kd²on“µX‘Èâ².‘=Con•¸ãv“ersely‘ÿ*ª,‘“›an“y–‡'algebraic“action“is“of“the“form“µ zŸü^ÿÞMŽŽ¡²for–UUsome“ÝR²-mošGdule“ÝM².‘qÇNotice“that“an¸ãy“ÝRŸÿ´pŽ‘ŸR²-mo˜dule“is“an“ÝR²-mo˜dule.ŽŸ#ÓProQÇof–ÕTof“Theorem“ïhtml:1.1Ž‘±Âï html:.ŽŽ‘t•1²The–”¾folloš¸ãwing“result“is“pro˜v˜ed“in“Section“3“of“[ï@html:4Ž‘ï html:Ž‘]:‘ð™if“theŽ¡pGolynomialsŽŸ ‘kÀµf‘ŸûÞÿ±(´k+B±)Ž‘?!²(µuŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;›ª¨uŸÿ´dŽ‘©²²)–m=“µf‘²(µuŸûÞÿ´kŽŸ™á±1ŽŽ–ëµ;˜:˜:˜:Ž‘ÿ÷;˜uŸûÞÿ´kŽŸ™ádŽŽ“²)ŽŸå^ha•¸ãv“e–çyno“primitivš¸ãe“irreducible“factors“for“an˜y“µk‘¯¸‘Ç²1“(apart“from“µk‘8²a“pGo˜w˜er“of“µp²),‘ýrandŽ¡the–@©suppšGort“of“µf‘T8²is“the“admissable“shap˜e“µS‘“²,‘DËthen“µS‘Ô6²is“a“minimal“non-mixing“shap˜eŽ¡for–UUthe“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-action“µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘ªÁ².Ž¡‘So–qïit“is“enough“to“shoš¸ãw“that“for“an˜y“admissable“shapGe“µS‘|²there“is“a“prime“µp²,Ž¡and–Tka“pšGolynomial“µf‘gú²o•¸ãv“er–Tk×FŸÿ´pŽ‘ó½²whose“supp˜ort“is“µS‘çø²and“with“the“prop˜ert¸ãy“that“µf‘Ÿü^ÿ±(´k+B±)Ž‘“Œ²isŽ¡absolutely–Sirreducible“for“all“µk‘¯¸‘Ç²1.‘^qBy“Lemma“3.10“of“[ï@html:4Ž‘ï html:Ž‘]“(see“also“Theorem“I,IGI‘EinŽ¡[ï,html:3Ž‘ï html:Ž‘]),›Qif–OõSupp(µf‘²)“is“admissable,˜then“there“is“an“µN‘²(SuppŽ‘8è(µf‘²))“with“the“propGert¸ãy“thatŽŸaif–…Öµf‘Ÿü^ÿ±(´k+B±)Ž‘Ä÷²has“no“primitivš¸ãe“irreducible“divisors“o˜v˜erŸýjª‘c¸ŽŸ•V“×FŸÿ´pŽŽŽ‘Çp²for“1–î¸“µk‘h…¸“µN‘²(SuppŽ‘8è(µf‘²)),‘‘öthenŽŸ½qµf‘Ÿü^ÿ±(´k+B±)Ž‘”v²has–UUno“primitivš¸ãe“irreducible“divisors“for“all“µk‘¥ì²not“a“pGo˜w˜er“of“µp².Ž¡‘Fix–ðjan“admissable“shapGe“µS‘ƒ÷²with“µs–É²=“¸jµS‘“¸j²,›/an–ðjin¸ãtegral“domain“µRÇ²,˜and“a“genericŽŸIôpGolynomial›U¶µh–Çº¸2“µRÇ²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ– ¼tµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨uŸû¸ä·±1ŽŸK[´dŽŽ“²]˜with˜suppGort˜µS‘“².‘rêThen˜µh–Çº²=“µh²(Óu²)“=“µh²(µuŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨uŸÿ´dŽ‘©²²)˜isŽ¡a–ù„pGolynomial“µhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;›ª¨Óa²)–Ç¸2“µRÇ²[Óuµ;˜aŸÿ±1Ž‘|sµ;˜:˜:˜:Ž‘ÿ÷;˜aŸÿ´sŽ‘F:²]–ù„in“whic¸ãh“the“v‘ÿqÇariables“µaŸÿ±1Ž‘|sµ;˜:˜:˜:Ž‘ÿ÷;˜aŸÿ´sŽ‘?¾²all“appGearŽ¡with–”degree“one.‘.By“the“Bertini-NošGether“Theorem“(Prop˜osition“9.29“in“[ï)html:2Ž‘ï html:Ž‘]),‘£ÎthereŽ¡exist–ypšGolynomials“µRŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨RŸÿ´tŽ‘ˆ¸2‘°µRÇ²[Óa²]“with“the“prop˜ert¸ãy“that“µhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;‘ª¨ÓaŸü^ÿ±0Ž‘|s²)“is“absolutelyŽ¡irreducible–éif“and“only“if“at“least“one“of“µRŸÿ±1Ž–|s²(ÓaŸü^ÿ±0Ž“²)µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨RŸÿ´tŽ‘…V²(ÓaŸü^ÿ±0Ž“²)–éis“not“zero.‘ ,ìSo,‘MùifŽ¡the–HäpšGolynomial“µh²(Óuµ;‘ª¨Óa²)“is“absolutely“irreducible“o•¸ãv“er–Hä×Q²(Óa²),‘…Çthen“the“p˜olynomialsŽ¡µRŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨RŸÿ´tŽ‘m²don't–Šv‘ÿqÇanish“idenš¸ãtically‘ÿ*ª.‘Therefore,‘—Gin“this“case“there“exists“ÓaŸü^ÿ±0Ž‘Š²in˜tegralŽ¡sucš¸ãh–bÆthat“for“all“but“nitely“man˜y“primes“µp²,Ÿý\q‘§ŽŸ£‘“IµhŽŽ‘V@²(Óuµ;‘ª¨ÓaŸü^ÿ±0Ž‘|s²)“is“absolutely“irreducible“o˜v˜er“×FŸÿ´pŽŽŸ-²and›Supp(Ÿý\q^ŽŸ£µhŽŽ‘Â÷²(Óuµ;‘ª¨ÓaŸü^ÿ±0Ž‘|s²)–æ=“µS‘“²,‘‹ðwhere˜µg‘k¿¸7!‘gt²Ž“µgŽŽ‘±Í²is˜the˜canonical˜map˜×Z“¸!“×FŸÿ´pŽ‘ŸR².‘ôÔNo¸ãw˜considerŽ¡the–Âcollection“of“all“the“pšGolynomials“µhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;‘ª¨Óa²)“with“supp˜ort“µS‘“².‘@²By“Bertini's“TheoremŽ¡(see–ÙTheorem“I.11.18“of“[ï1html:9Ž‘ï html:Ž‘]“or“Theorem“IX.6.17“of“[ï*html:13Ž‘ ï html:Ž‘ ]),‘ %the“generic“mem¸ãbGer“of“thisŽ¡linear–ÿýsystem“(of“dimension“greater“than“or“equal“to“2)“is“irreducible“if“and“onlyŽ¡if–þ‚the“general“mem¸ãbšGer“is“not“comp˜osite“with“a“p˜encil“(µhŸü^ÿ·Ž‘ —f²is“comp˜osite“with“aŽ¡pšGencil– [if“µhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;‘ª¨Óa²)–ôÌ=“µP‘c²(µQ²(Óu²))– [with“µP‘X[¸2‘ôÌ×Q²(Óa²)[µ²]).‘ÚAssume“the“general“mem¸ãb˜er“isŽ¡compšGosite–ÕŒwith“a“p˜encil,‘ïand“let“µP‘c²(µ²)–Ç=“Ÿøü«PŽŸúøÞ‘ US´nŽŸ%‘ USi±=0ŽŽ‘tJµaŸÿ´iŽ‘TLµŸü^ÿ´iŽ‘)Ø²and‘ÕŒµQ²(Óu²)“=“Ÿøü«PŽ‘ USŸÔn·2´SŸ°0ŽŽ‘"ºÙµcŸÿÔnŽ–‡ÓuŸü^ÿÔnŽ“².‘G/ThenŽŸ¨êµhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;‘ª¨Óa²)–Ç=“Ÿøü«PŽŸúøÞ‘ US´nŽŸ%‘ USi±=1ŽŽ‘tJµaŸÿ´iŽ‘þôŸ÷æb«Ž‘ ”KŸøüPŽ‘"†ŸÔn·2´SŸ°0ŽŽ‘)ˆµcŸÿÔnŽ–‡ÓuŸü^ÿÔnŽ“Ÿ÷æb«ŽŽ‘CãŸùøß´iŽ‘Háöµ:–ÜÍ²Noš¸ãw“coun˜t“the“n˜um˜bšGer“of“co˜ecienš¸ãts“that“ma˜yŽŸ€bGe–dc¸ãhosen“freely“in“the“family:‘Oin“µhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;‘ª¨Óa²)“there“are“µs²;‘ë{in“µP‘c²(µQ²(Óu²))“there“are“µn²,Ž¡so›Ûmµs–¦”²=“µn².‘On˜the˜other˜hand,‘üóthe˜suppGort˜of˜the˜family˜µP‘c²(µQ²(Óu²))˜has˜cardinalit¸ãyŽ¡¸jµSŸÿ±0Ž›|s¸j–±O²+“¸j²2µSŸÿ±0Ž˜¸j“²+“¸–ª¨“Ž‘ E²+“¸jµnSŸÿ±0Ž˜¸j– ü²where“2µSŸÿ±0Ž‘p ²=›ô-¸fÓn–±O²+“Óm˜¸j˜Ón˜¸2˜µSŸÿ±0Ž–|sµ;‘ª¨Óm˜¸2˜µSŸÿ±0Ž“¸g– ü²and“so“on.‘½IfŽ¡¸jµSŸÿ±0Ž‘|s¸j–Çµ>“²1,‘ÏÅthen–®ait“folloš¸ãws“that“the“cardinalit˜y“of“the“suppGort“of“the“family“of“µP‘c²(µQ²(Óu²))Ž¡exceeds–›Éµs²,›fwhic¸ãh“is“impGossible.‘E$If“¸jµSŸÿ±0Ž‘|s¸j–<„²=“1,˜then–›ÉµQ“²is“a“monomial,˜so“the“shapGe“µSŽŽŽŒ‹'" |4ù ýš‘6à¤ïhtml:ï html:²4Ž’ÕGÜT.‘$øWar‘ÿi>dŽŽ N ýÌ‘6à¤²is–Bnot“admissable,‘#¬con¸ãtrary“to“our“assumption.‘]W‘ÿ*ªe“deduce“that“the“family“µhŸü^ÿ·Ž‘˜ä²(Óuµ;‘ª¨Óa²)Ž¤‘6à¤is–¸not“compšGosite“with“a“p˜encil,‘Ñ]and“therefore“is“generically“absolutely“irreducible.Ž¡‘6à¤No¸ãw–{apply“the“bšGound“µN‘²(SuppŽ‘8è(µf‘²))“to“deduce“that“the“generic“sp˜ecialization“µh²(Óuµ;‘ª¨ÓaŸü^ÿ±0Ž‘|s²)Ž¡‘6à¤has–„the“propGertš¸ãy“that“for“all“but“nitely“man˜y“primes,‘Cthe“reduction“moGd“µp“²is“aŽ¡‘6à¤pGolynomial–¿µf‘¤N²with“Supp(µf›²)–*=“µS‘$L²and–¿with“µf˜Ÿü^ÿ±(´k+B±)Ž‘Ïà²absolutely“irreducible“for“all“µk‘z´¸‘*²1Ž¡‘6à¤not–…ëa“pšGo•¸ãw“er–…ëof“µp².‘ˆBy“the“remarks“ab˜o•¸ãv“e,‘Òthis›…ësho“ws˜that˜there˜is˜an˜algebraicŽ¡‘6à¤×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-action–UUfor“whic¸ãh“µS‘èâ²is“a“minimal“non-mixing“shapGe.Ž¡‘Bà¤Noš¸ãw– ¾x“t˜w˜o“admissable“shapšGes“µS‘žK²and“µT‘c²,‘©with“the“prop˜erties“that“for“all“Ón–Ç¸2“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²,Ž¡‘6à¤µT‘yP²+›ÁÓn–Ç¸6“µS‘“²,‘GIand‘CÅ0“¸2“µS‘©N¸\˜µT‘c².‘kíBy–CÅthe“construction“abšGo•¸ãv“e,‘GIw“e–CÅcan“nd“a“p˜olynomial“µfŽ¡‘6à¤²in–3the“ring“ÝR“²with“the“propGert¸ãy“that,›"Ófor“a“generic“prime“µp²,˜the“reduction“moGd“µp“²ofŽ¡‘6à¤µf‘iR²giv¸ães–UÃa“pšGolynomialŸý\q‘|äŽŸ£“µfŽŽ‘¤l²in“ÝRŸÿ´pŽ‘õ²whose“supp˜ort“is“µS‘éP²and“whic¸ãh“has“the“prop˜ert¸ãy“thatŽŸ½q‘6à¤µf‘Ÿü^ÿ±(´k+B±)Ž‘”v²has–UUno“primitivš¸ãe“irreducible“factors“for“µk‘¥ì²not“a“pGo˜w˜er“of“µp².Ž¡‘Bà¤It–.®follo¸ãws“from“PropGosition“28.9“in“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ]“that“for“a“generic“prime“µp²,‘6ithe“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-actionŽ©þÝ‘6à¤µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·hŸþ'‘¤±ŽŸØã´fŽŽ‘¯ ·iŽ‘t&²has–ÉeµS‘\ò²as“its“unique“extremal“non-mixing“set“(see“Denition“28.8“in“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ]).Ž¡‘6à¤W‘ÿ*ªe–ò'noš¸ãw“need“to“sho˜w“that,‘ýfor“an“appropriate“c˜hoice“of“the“prime“µp²,‘ýthe“shapGe“µT‘U¶²isŽŸp¤‘6à¤a–™;mixing“set“for“µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·hŸþ'‘¤±ŽŸØã´fŽŽ‘¯ ·iŽ‘ªÁ².‘=yThis“is“not“guaran¸ãteed“bšGecause“of“p˜ossible“cancellationsŽ¡‘6à¤moGd‘UUµp².Ž¡‘Bà¤The–‡°follo¸ãwing“example“(Example“28.10(7)“in“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ])“illustrates“the“problem.‘ØIfŽ¡‘6à¤µf‘²(µuŸÿ±1Ž–|sµ;‘ª¨uŸÿ±2Ž“²)–²u=“1–—+“µuŸÿ±1Ž‘x²+“µuŸÿ±2Ž‘|s²,›Ûand–âŽµp“²is“c¸ãhosen“to“bGe“2,˜then“¸f²(0µ;–ª¨²0)µ;“²(1µ;“²0)µ;“²(0µ;“²1)¸g–âŽ²is“theŽ¦‘6à¤unique–UUextremal“non-mixing“set“for“µ zŸü^ÿÞRŸ°2Ž‘ç ´=·hŸþ'‘¤±ŽŸØã´fŽŽ‘¯ ·iŽ‘_ ²,“but“the“iden•¸ãtit“yŽ¤Èu‘yÇ€(1–8à+“µuŸÿ±1Ž‘µS²+“µuŸÿ±2Ž›|s²)(1“+“µuŸÿ±1Ž˜²)–Ç=“1–8à+“µuŸûÞÿ±2ŽŸ™á1ŽŽ›µS²+“µuŸÿ±2Ž˜²+“µuŸÿ±1Ž‘|sµuŸÿ±2Ž‘|c²moGdŽ‘$üb2ŽŽŽŽ¡‘6à¤sho¸ãws–ãthat“the“set“¸f²(0µ;–ª¨²0)µ;“²(2µ;“²0)µ;“²(0µ;“²1)µ;“²(1µ;“²1)¸g–ã²is“also“a“minimal“non-mixing“set“forŽ¦‘6à¤µ zŸü^ÿÞRŸ°2Ž‘ç ´=·hŸþ'‘¤±ŽŸØã´fŽŽ‘¯ ·iŽ‘_ ².‘½Ho•¸ãw“ev“er,‘J c“hošGosing–for“the“xed“shap˜e“µT‘pð²=‘ a¸f²(0µ;–ª¨²0)µ;“²(2µ;“²0)µ;“²(0µ;“²1)µ;“²(1µ;“²1)¸g‘²aŽ¤‘6à¤sucien¸ãtly–MHlarge“prime“µp“²(in“this“case,›Näµp–Ç>“²2–MHwill“suce),˜this“cancellation“will“notŽ¦‘6à¤o•Gccur›UUmo“d˜µp˜²and˜so˜the˜shap“e˜µT‘¸ä²will˜b“e˜mixing˜for˜µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·hŸþ'‘¤±ŽŸØã´fŽŽ‘¯ ·iŽ‘ªÁ².Ž¡‘Bà¤Similarly‘ÿ*ª,‘ Âbš¸ãy–æyPropGosition“28.9“in“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ]“if“the“prime“µp“²is“c˜hosen“large“enough“forŽ¦‘6à¤the–UUgiv¸ãen“shapšGe“µT‘c²,“the“shap˜e“µT‘¸ä²will“b˜e“mixing“for“the“action“µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·hŸþ'‘¤±ŽŸØã´fŽŽ‘¯ ·iŽ‘ªÁ².‘/›ëó*—³îÍ msam10ÕŽŽŽŸb‘6à¤ÓProQÇof–ÕTof“Theorem“ïhtml:1.2Ž‘±Âï html:.ŽŽ’«uÕ²The–rst“part“folloš¸ãws“from“c˜haracterisations“of“higher-Ž¡‘6à¤order–Éwmixing“and“mixing“shapGes“for“algebraic“dynamical“systems“in“Sections“27“andŽ¡‘6à¤28–UUof“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ].Ž¡‘Bà¤Before–7àturning“to“the“second“part“of“Theorem“ïhtml:1.2Ž‘Çï html:,‘=Åwš¸ãe“assem˜ble“some“basic“factsŽ¡‘6à¤abšGout–ä(Gaussian“pro˜cesses“(see“for“instance“[ï)html:12Ž‘ ï html:Ž‘ ]).‘AThe“en•¸ãtrop“y–ä(of“a“µd²-dimensionalŽ¡‘6à¤Gaussian– ÉprošGcess“has“b˜een“computed“in“[ï1html:8Ž‘ï html:Ž‘].‘T$Dene“a“measure“space“b¸ãy“( µ;‘ª¨¸FŸÿ±0Ž‘|s²)‘DÙ=Ž¡‘6à¤Ÿøü«QŽ‘@RmŸÔn·2ØZŸþ³dŽŽ‘T’²(×Rµ;‘ª¨¸BMÛ²)–î¡where“¸B‘<|²is“the“Borel“µš[Ù²-algebra“on“×R².‘=«Let“µŸÿÔnŽ‘‡²(µ!˜²)“bšGe“the“Ón²th“co˜ordi-ŽŸŸ‘6à¤nate–¨of“µ!‘¬Â¸2‘Pé² .‘iÛLet“µ“²bšGe“a“probabilit¸ãy“measure“on“( µ;‘ª¨¸FŸÿ±0Ž‘|s²)“with“the“prop˜ert¸ãy“thatŽ¡‘6à¤for–Canš¸ãy“µkP—²-tuple“of“in˜teger“v˜ectors“ÓnŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ÓnŸÿ´kŽ‘jÓ²of“the“µkP—²-dimensional“random“v‘ÿqÇariableŽ¡‘6à¤(µŸÿÔnŸ°1ŽŽ‘ n<µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ŸÿÔnŸ¥³kŽŽ‘ æ;²)–`Ÿis“a“µkP—²-dimensional“Gaussian“laš¸ãw,‘£qand“the“join˜t“distribution“is“sta-ŽŸp¥‘6à¤tionary–RMin“the“sense“that“µŸü^ÿ±(ÔnŸ°1Ž‘ç ±+Ôm´;:::Ž‘ ;ÔnŸ¥³kŽ‘_±+Ôm±)Ž‘D¯g²=›l´µŸü^ÿ±(ÔnŸ°1Ž‘ç ´;:::Ž‘ ;ÔnŸ¥³kŽ‘_±)Ž‘)FÆ²for“an¸ãy“Óm˜¸2˜×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²².‘h°Let“¸FŽ¡‘6à¤²denote–klthe“completion“of“¸FŸÿ±0Ž‘çß²under“µ².‘´Then“( µ;–ª¨¸F‘þ9µ;“;“¸fµŸÿÔnŽ‘‡¸gŸÔn·2ØZŸþ³dŽŽ‘È%²)–klis“a“µd²-dimensionalŽŸ*‘6à¤Gaussian–‰¡stationary“sequence.›«Assume“that“µE‘“¸fµŸÿÔnŽ‘‡¸g–Èê²=“0–‰¡for“eac¸ãh“Ón–Èê¸2“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²².˜TheŽ¡‘6à¤coš¸ãv‘ÿqÇariance–ì`function“µR‘D²:–m}×ZŸü^ÿ´dŽ‘ /¸!“×C–ì`²ma˜y“bGe“expressed“in“terms“of“a“(symmetric)Ž¡‘6à¤spšGectral–åçmeasure“µ“²on“×TŸü^ÿ´dŽ‘™²via“Khinc¸ãhine's“decomp˜osition,‘ µRÇ²(Ón²)–¸=“µE‘“¸fµŸÿÔn±+ÔmŽ‘.9µŸÿÔmŽ‘¸g“²=ŽŸ ˜2‘6à¤Ÿ÷ñÄ«RŽŸúj¦‘=‹O±1ŽŸ #–‘;™ˆ0ŽŽ‘BÂ¸–ª¨“Ž‘O]Ÿ÷ñÄ«RŽŸúj¦‘V¼±1ŽŸ #–‘Tõ0ŽŽ‘\.×µeŸü^ÿ·±2´@Li±(´nŸ°1Ž–ç ´sŸ°1Ž“±+·Ž‘ ±+´nŸ¥³dŽ–2Ò´sŸ¥³dŽ“±)Ž‘MÈ¥µ²(µdsŸÿ±1Ž‘'µ:–ª¨:“:Ž‘|jdsŸÿ´dŽ‘©²²)µ:›x²Con•¸ãv“ersely‘ÿ*ª,‘¤Qif˜µ˜²is˜a˜symmetric˜nite˜mea-ŽŸ ®‘6à¤sure–Àñon“×TŸü^ÿ´dŽ‘©²²,‘Øthen“there“is“a“unique“µd²-dimensional“Gaussian“stationary“sequenceŽ¡‘6à¤whose–UUspGectral“measure“is“µ².ŽŽŽŒ‹C‚ |4ù ýš’™œ=ÜThr–ÿi>e“e›$øR“esults˜on˜Mixing˜Shap“es‘]»˜ïhtml:ï html:²5ŽŽŽ N ýÌ‘Bà¤AssošGciated–vÍto“an¸ãy“Gaussian“stationary“sequence“of“the“ab˜o•¸ãv“e–vÍform“there“is“aŽ¤‘6à¤measure-preserving–‚¶×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-action“µ z²,‘¬Ödened“bš¸ãy“the“shift“on“ .‘+“Standard“appro˜ximationŽ¡‘6à¤argumenš¸ãts–ýñ(see“[ï)html:12Ž‘ ï html:Ž‘ ])“giv˜e“the“follo˜wing.‘T¦Let“¸C‘“H²denote“the“class“of“functions“µf‘Ú§²:–Ç “¸!Ž¡‘6à¤×C–æ²with“the“propGert¸ãy“that“µf‘²(µ!š[Ù²)–^=“µF‘c²(µŸÿÔmŸ°1ŽŽ‘ê²(µ!˜²)µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ŸÿÔmŸ³tŽŽ‘U ²(µ!˜²))–æfor“some“ÓmŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ÓmŸÿ´tŽ‘<²andŽ¡‘6à¤some–ðIbšGounded“con•¸ãtin“uous–ðIfunction“µF‘,ç²:–ÉX×RŸü^ÿ´tŽ‘N®¸!“×C².‘B£Let–ðIµ‘ùÃ²b˜e“a“Gaussian“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-action.Ž¡‘6à¤Then,‘ó†in–Ûorder“to“c•¸ãhec“k›Ûan“y˜mixing˜propGert“y‘ÿ*ª,‘ó†it˜is˜sucien“t˜to˜c“hec“k˜it˜for˜functionsŽ¡‘6à¤in–UUthe“class“¸C‘•W².Ž¡‘Bà¤F‘ÿ*ªor–¢Œeacš¸ãh“Ón–Ç¸2“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²,‘ÆNthe–¢Œ×Z²-action“generated“b˜y“the“tranformation“µŸÿÔnŽ‘)¨²is“again“Gauss-Ž¡‘6à¤ian,–Ùëon›¿f( µ;‘ª¨¸FŸÿÔnŽ‘‡²),“where˜¸FŸÿÔnŽ‘ F‚²is˜the˜sub-µ[Ù²-algebra˜of˜¸F‘½Ÿ²generated˜b¸ãy˜the˜pro‘Ž8jectionsŽ¡‘6à¤¸fµŸÿ´k+BÔnŽ‘ ò¬¸gŸÿ´k+B·2ØZŽ‘ùÇ².‘qAThe–ª~spGectral“measure“of“µŸÿÔnŽ‘ 1š²is“µŸÿÔnŽ›Ü"²=‘Uµ Ÿü^ÿ[Ù·±1ŽŸáÔnŽŽ‘M²,‘¿Èwhere“µ ŸÿÔnŽ˜²:–U×TŸü^ÿ´dŽ‘þ¸¸!“×T–ª~²is“giv¸ãenŽ¡‘6à¤b¸ãy‘UUµ ŸÿÔnŽ‘‡²(µsŸÿ±1Ž›|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨sŸÿ´dŽ‘©²²)–Ç=“µnŸÿ±1Ž˜µsŸÿ±1Ž‘µS²+‘8à¸–ª¨“Ž‘g²+‘8àµnŸÿ´dŽ‘©²µsŸÿ´dŽ‘ÿ²moGd‘UU1.Ž¡‘Bà¤T‘ÿ*ªo–¢›exhibit“an“example“for“the“second“part“of“Theorem“ïhtml:1.2Ž‘Çï html:,‘õìwš¸ãe“simply“c˜hec˜kŽ¡‘6à¤that–º„a“simple“moGdication“of“the“construction“of“F‘ÿ*ªerenci“and“Kaminski“in“[ï;html:1Ž‘ï html:Ž‘]“hasŽ¡‘6à¤the–0stated“prop•Gerties.‘e[Cho“ose›0×Q²-indep“enden•¸ãt˜n“um“bGers˜1µ;–ª¨Ÿÿ±1Ž‘|sµ;“:“:“:Ž‘ÿ÷;“Ÿÿ´dŽ‘©²²,‘7…and˜let˜µf‘²(µt²)‘Ç=Ž¡‘6à¤(µŸÿ±1Ž‘|sµt;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨Ÿÿ´dŽ‘©²µt²)–Jf(mošGd“1)“for“µt–Ç¸2“×T–Jf²the“additiv¸ãe“circle.‘ÍLet“µ{–Ç²:“×TŸü^ÿ´dŽ‘pÊ¸!“×TŸü^ÿ´dŽ‘ô²b˜e–Jfthe“in•¸ãv“olutionŽ¡‘6à¤µ{²(µtŸÿ±1Ž›|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨tŸÿ´dŽ‘©²²)–Û…=“(1–§r¸“µtŸÿ±1Ž˜µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨²1“¸“µtŸÿ´dŽ‘©²²),‘$§and–û1let“µ“²bšGe“Leb˜esgue“measure“on“×TŸü^ÿ´dŽ‘©²².‘cZDeneŽ©‘6à¤a›v…symmetric,–~Ðsingular,“con•¸ãtin“uous˜measure˜µ˜²on˜×TŸü^ÿ´dŽ‘ 7²b“y˜µ‘þg²=Ÿü‘1š±1Ž‘1šŸ£&‰feüsŸ¿˜2ŽŽŽŽ‘èŸ÷æb«Ž‘¡?µf‘Ÿü^ÿ·±1Ž‘ã²+–8àµ²(µ{“¸“µf‘²)Ÿü^ÿ·±1Ž‘ ¼tŸ÷æb«ŽŽ‘c¡Úµ:ŽŸýv‘6à¤²Let–Dµ‘#¾²bšGe“the“Gaussian“×ZŸü^ÿ´dŽ‘©²²-action“with“sp˜ectral“measure“µ².‘^The“co¸ãv‘ÿqÇariance“functionŽ¡‘6à¤is–UUgivš¸ãen“b˜y“ïhtml:ï html:ŽŸLFŸ€ŽŽ’œdòµRÇ²(Ón²)‘Ç=Ÿù<$‘úKsinŽ‘Ai(2µ[Ù²(µnŸÿ±1Ž‘|sµŸÿ±1Ž‘µS²+‘8à¸–ª¨“Ž‘g²+‘8àµnŸÿ´dŽ–©²µŸÿ´dŽ“²))Ž‘úKŸw‰fetžZŸ (Ö‘ 2µ[Ù²(µnŸÿ±1Ž‘|sµŸÿ±1Ž‘µS²+‘8à¸–ª¨“Ž‘g²+‘8àµnŸÿ´dŽ–©²µŸÿ´dŽ“²)ŽŽŽŽ‘yËØµ:ŽŽŽŸ€ŽŽ‘6à¤²(2)ŽŽŽŽŽŸär‘6à¤ChoGose–£ªa“sequence“ÓnŸÿ´jŽ‘€R²=›I¦(µnŸúÎ:±(´jg±)ŽŸÜl1ŽŽ– v®µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨nŸúÎ:±(´jg±)ŽŸ6´dŽŽ“²)˜¸!˜1–£ª²for“whic¸ãh“µnŸúÎ:±(´jg±)ŽŸÜl1ŽŽ– v®µŸÿ±1Ž‘éŒ²+‘m¸–ª¨“Ž‘„Ù²+‘mµnŸúÎ:±(´jg±)ŽŸ6´dŽŽ“µŸÿ´dŽ‘óX¸!˜²0Ž¡‘6à¤as–eµj‘sï¸!›ád1².‘¡Then“µRÇ²(ÓnŸÿ´jŽ‘6¬²)˜¸!˜²1“as“µj‘sï¸!˜1².‘¡It“follo¸ãws“that“the“2µt²-dimensional“randomŽ¡‘6à¤Gaussian‘UUv¸ãectorŽ¤£‘nŒÏŸÿ´jŽ‘6¬²(µ!š[Ù²)–Ç=“Ÿ÷æb«Ž‘\oµŸÿÔmŸ°1ŽŽ‘ê²(µ!˜²)µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;–ª¨ŸÿÔmŸ³tŽŽ‘U ²(µ!˜²)µ;“ŸÿÔmŸ°1Ž‘ç ·ÔnŸ³jŽŽ‘î+²(µ!˜²)µ;“:“:“:Ž‘ÿ÷;“ŸÿÔmŸ³tŽ‘Q}·ÔnŸ³jŽŽ‘Xˆ²(µ!˜²)Ÿ÷æb«ŽŽŽŸ°‘6à¤²has–coš¸ãv‘ÿqÇariance“matrix“Ÿîæ\«"ŽŸùæd‘ìoµVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl00ŽŽŽ‘%qVµVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl10ŽŽŽŽŸb‘ìoµVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl01ŽŽŽ‘%qVµVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl11ŽŽŽŽŽ‘7ö=Ÿîæ\«#ŽŽ‘=Ë”²,‘#‹where“µVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl00ŽŽ‘vª²=‘ÇµVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl11ŽŽ‘Æª²is“the“co˜v‘ÿqÇariance“matrix“µVŽŸñÐ‘6à¤²of‘UU(Ž‘8äµŸÿÔmŸ°1ŽŽ‘ê²(µ!•[Ù²)µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ŸÿÔmŸ³tŽŽ‘U ²(µ!“²))ŽŽ‘^ é,–UUand“µVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl01ŽŽ‘ç²has“(µp;‘ª¨q[Ù²)th“en¸ãtryŽ¡‘x/7µE‘“¸fµŸÿÔmŸ³pŽŽ‘6aµŸÿÔmŸ³qŽ‘ùV·ÔnŸ³jŽŽ‘a¸g–Ç²=“µRšÇ²(ÓmŸÿ´pŽ‘Ø2¸–8àÓmŸÿ´qŽ‘£u²+“ÓnŸÿ´jŽ‘6¬²)–Ç¸!“µR˜²(ÓmŸÿ´pŽ‘Ø2¸‘8àÓmŸÿ´qŽ‘j•²)ŽŸK‘6à¤as–÷ãµj‘Y£¸!‘Ç1“²bš¸ãy“our“c˜hoice“of“ÓnŸÿ´jŽ‘6¬².‘R¡Th˜us“µVŸúÎ:‘8ä±(´jg±)ŽŸÜl01ŽŽ‘vª¸!‘ÇµV›8ä²;‘ similarly“µVŸúÎ:˜±(´jg±)ŽŸÜl10ŽŽ‘vª¸!‘ÇµV˜².‘R¡By“the“remarkŽ¤‘6à¤abGo•¸ãv“e,–UUthis“sho¸ãws“that“µ²(µŸÿÔnŸ³jŽŽ‘ C}²(µA²)–8à¸\“µA²))–Ç¸!“µ²(µA²)–UUfor“all“µA–Ç¸2“F‘þ9²,–UUso“µ‘^Ï²is“rigid.Ž¡‘Bà¤Let–ÓŸµS‘Z¥²=‘Ç¸fÓnŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ÓnŸÿ´rŽ‘m¢¸g²,‘íand“dene“a“random“vš¸ãector“of“dimension“µr‘|“¸‘5vµt“²b˜y“ Ÿÿ´kŽ‘ë²(µ![Ù²)‘Ç=Ž¦‘6à¤Ÿ÷æb«Ž‘;uûµŸÿÔmŸ³iŽ‘*ø·´k+BÔnŸ³jŽŽ‘“²(µ![Ù²)–Ç¸j“µi“²=“1µ;–ª¨:“:“:Ž›ÿ÷;–ª¨t²;“µj‘Y£²=‘Ç1µ;“:“:“:Ž˜;“rGŸ÷æb«ŽŽ’á| µ:–È±²This“v¸ãector“is“Gaussian“with“zero“meanŽ¡‘6à¤and–UUco¸ãv‘ÿqÇariance“matrixŽŸê’§„µVŸÿ´kŽ‘²¨²=ŸèæX‘Ç«2ŽŸ™¦‘Ç6ŽŸfi‘Ç4ŽŽŸð’z‘ qÄµVŸü^ÿ‘8ä±11ŽŸv´kŽŽŽ‘#øãµVŸü^ÿ‘8ä±12ŽŸv´kŽŽŽ‘>€µ:–ª¨:“:ŽŽ‘UÕQVŸü^ÿ‘8ä±1´rŽŸvkŽŽŽŽŸ§ÔŸø‘QÅ².Ž¤‘QÅ.Ž¡‘QÅ.ŽŽŽŸø‘\ê.Ž¤‘\ê.Ž¡‘\ê.ŽŽŽŽ¡‘ y-µVŸü^ÿ‘8ä´r7±1ŽŸv´kŽŽŽ‘$LµVŸü^ÿ‘8ä´r7±2ŽŸv´kŽŽŽ‘>€µ:–ª¨:“:ŽŽ‘UÜºVŸü^ÿ‘8ä´r7rŽŸvkŽŽŽŽŽŸèæX‘fMŸ«3ŽŸ™¦‘fMŸ7ŽŸfi‘fMŸ5ŽŽŽ‘n¢óµ;ŽŸ$•5‘6à¤²where–UUµVŸû1É‘8ä´jglŽŸÒvkŽŽ‘V²is“the“µt–8à¸“µt–UU²matrix“whose“(µp;‘ª¨q[Ù²)th“elemen¸ãt“isŽŸšë‘KlµvŸúÎ:[Ù±(´jùT;l `±)ŽŸ™”(´p;q@L±)ŽŽ‘)é²(µkšP—²)–Ç=“µE‘>5Ÿ÷æb«Ž‘ÓŒµŸÿÔmŸ³pŽ‘2Ô·´k+BÔnŸ³jŽŽ‘¥oµŸÿÔmŸ³qŽ‘ùV·´k+BÔnŸ¥³lŽŽ‘–bŸ÷æb«ŽŽ‘U+Î²=“Ÿîæ\«(ŽŸù.‘ ÕSµRÇ²(ÓmŸÿ´pŽ‘Ø2¸‘8àÓmŸÿ´qŽ‘j•²)Ž’‡–³ifŽ’Á_µj‘Y£²=“µlŽŽŸfc‘ ÕSRÇ²(ÓmŸÿ´pŽ‘Ø2¸–8àÓmŸÿ´qŽ‘£u²+“µk˜ÓnŸÿ´lŽ‘J¨¸“µk˜ÓnŸÿ´jŽ‘6¬²)Ž’‡–³ifŽ’Á_µj‘Y£¸6²=“µl2`:ŽŽŽŽŽŽŽŒ‹]{ |4ù ýš‘6à¤ïhtml:ï html:²6Ž’ÕGÜT.‘$øWar‘ÿi>dŽŽ N ýÌ‘6à¤²Notice–Ü|that“µVŸÿ±0Ž‘C‹²=›ÇµVŸû1É‘8ä´jgjŽŸÒvkŽŽ‘ ¸²is“the“co¸ãv‘ÿqÇariance“matrix“of“(µŸÿÔnŸ°1ŽŽ‘ n<µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ŸÿÔnŸ³tŽŽ‘Ø™²).‘IF‘ÿ*ªor“µj‘Y£¸6²=˜µl2`²,‘ô§it“is“clearŽ¤‘6à¤from–UU(ïhtml:2Ž‘ï html:)“thatŽŸ ñÆ’Æã²limŽŸ‡’Ã¦Í´k+B·!1ŽŽ’Ù®ÏµvŸúÎ:[Ù±(´jùT;l `±)ŽŸ™”(´p;q@L±)ŽŽ‘)é²(µkP—²)–Ç=“0µ;ŽŸ’{‘6à¤²so‘UUthatŽŸÓê’ŸlimŽŸ‡’›È¨´k+B·!1ŽŽ’±ÐªµVŸÿ´kŽ‘²¨²=ŸâæT‘Ç«2ŽŸ™¦‘Ç6Ž¤‘Ç6Ž¡‘Ç6ŽŸfi‘Ç4ŽŽŸê’z‘ qÄµVŸÿ±0ŽŽ‘ lp²0Ž‘2Tµ:–ª¨:“:ŽŽ‘L‡²0ŽŽ¡‘¨0Ž‘ÃŒµVŸÿ±0ŽŽ‘2Tµ:–ª¨:“:ŽŽ‘L‡²0ŽŽŸ§ÔŸù‘3xà.ŽŽ‘7\mŸü.Ž‘;?úŸÿ.ŽŽŽŽ¡‘¨0Ž‘ lp0Ž‘2Tµ:–ª¨:“:ŽŽ‘Ij£VŸÿ±0ŽŽŽŽŸâæT‘g¼k«3ŽŸ™¦‘g¼k7Ž¤‘g¼k7Ž¡‘g¼k7ŽŸfi‘g¼k5ŽŽŽ‘p¿µ:ŽŸ"ßJ‘6à¤²It–UUfollo¸ãws“that“µ‘^Ï²is“mixing“for“all“shapGes.’PÊÕŽŽŽ‘6à¤Ÿ X+ïhtml:ï html:Ÿ9Ï3.Ž‘ãˆÐPro`of–€of“Theorem“ïhtml:1.3Ž‘@ï html:ŽŸïhtml:ï html:¡‘²As–4°in“the“prošGof“of“Theorem“ïhtml:1.1Ž‘Çï html:,‘;8the“(coun¸ãtable)“dual“group“ÝM–Ç²=Ÿýxä‘^5«bŽŸ‡“µXŽŽ‘ Ž²is–4°a“mo˜duleŽŸIôo•¸ãv“er–UUthe“ring“ÝR–Ç²=“×Z²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ– ¼tµ;‘ª¨uŸû¸ä·±1ŽŸñÂ2ŽŽ“²].Ž¡‘F‘ÿ*ªolloš¸ãwing–-Å[ï5html:11Ž‘ ï html:Ž‘ ],‘cáexpanding“the“c˜haracteristic“functions“of“the“sets“appGearing“inŽ¡(ïhtml:1Ž‘ï html:)–äNas“F‘ÿ*ªourier“series“on“µX‘0²shoš¸ãws“that“propGert˜y“(ïhtml:1Ž‘ï html:)“is“equiv‘ÿqÇalen˜t“to“the“follo˜wing:Ž¡for–UUan¸ãy“non-zero“µrG²-tuple“(µmŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨mŸÿ´rŽ›m¢²)–Ç¸2“ÝMŸü^ÿ´rŽ˜²,‘UUïhtml:ï html:ŽŸ32Ÿ€ŽŽ‘IÄpÓuŸûÞÿÔnŸ°1ŽŽ‘ n<µmŸÿ±1Ž–µS²+›8àÓuŸûÞÿÔnŸ°1Ž‘ç ±+ÔnŸ°2ŽŽ‘€µmŸÿ±2Ž“²+˜¸–ª¨“Ž‘g²+˜ÓuŸûÞÿÔnŸ°1Ž–ç ±+ÔnŸ°2Ž“±+·Ž‘ ±+ÔnŸ³rŽŽ‘4õûµmŸÿ´rŽ‘4º¸6²=‘Ç0ŽŽŽŸ€ŽŽ(3)ŽŽŽŽŽŸp§whenevš¸ãer–ZÎÓnŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ÓnŸÿ´rŽ‘è¸2‘zßC‘ð%²lie“outside“some“sucien˜tly“large“nite“set“in“×ZŸü^ÿ±2Ž‘×A²(ho˜wŽ¡large–UUdepGending“on“the“c¸ãharacters“(µmŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨mŸÿ´rŽ›m¢²)–Ç¸2“ÝMŸü^ÿ´rŽ˜²).Ž¡‘Recall–V…that“a“prime“ideal“Ýp–sº¸“ÝR–V…²is“assošGciated“with“the“mo˜dule“ÝM“²if“there“isŽ¡an–Xelemenš¸ãt“µm–Æ¸2“ÝM–X²for“whic˜h“Ýp–Æ²=“¸fµf‘&U¸2“ÝR“¸j“µf‘Ñ¸‘½Œµm“²=“0“¸2“ÝM¸gµ:–X²The“basic“mixingŽ¡bGehaš¸ãviour–UUis“go˜v˜erned“b˜y“the“follo˜wing“lemmas.ŽŸ?ïhtml:ï html:Ÿ 9ÓLemma‘ÕT3.1.ŽŽ‘?ª•ÛThe–“çfol‘‚Ølowing“c›ÿ}'onditions“ar˜e“e˜quivalent²:Ž©™‘8ä(i)ŽŽŽ‘Çµ zŸü^ÿÞMŽ‘x$Ûis‘“çmixing.Ž¡‘qÇ²(ii)ŽŽŽ‘ÇµŸü^ÿ zÞMŽŸáÔnŽŽ‘x$Ûis›“çer–ÿ}'go“dic˜for˜every˜Ón–Ç¸6²=“0Û.Ž¡‘ªª²(iii)ŽŽŽ‘ÇÛNo–Ðprime“ide›ÿ}'al“asso˜ciate˜d“with“the“mo˜dule“ÝM“Ûc˜ontains“a“p˜olynomial“of“theŽ¡‘Çform–“çÓuŸü^ÿÔmŽ‘µ²(ÓuŸü^ÿÔnŽ‘‡²)“Ûwher‘ÿ}'e“µ“Ûis“cyclotomic.ŽŸMLÓProQÇof.ŽŽ‘$ö²See–UUPropGosition“6.6(3)“in“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ]’¼_ôÕŽŽŽŸ€ïhtml:ï html:Ÿ €ÓLemma‘ÕT3.2.ŽŽ‘?ª•ÛThe–“çfol‘‚Ølowing“c›ÿ}'onditions“ar˜e“e˜quivalent²:Ž¦‘8ä(i)ŽŽŽ‘Çµ zŸü^ÿÞMŽ‘x$Ûis–“çmixing“of“al‘‚Øl“or›ÿ}'ders“in“the“c˜one“¸C‘•WÛ.ŽŸa‘qÇ²(ii)ŽŽŽ‘ÇÛF‘ÿ;¼or–äÂevery“prime“ide›ÿ}'al“Ýp“Ûasso˜ciate˜d“with“ÝMÛ,‘øùµ zŸü^ÿÞR´=ÞpŽ‘gIÛis“mixing“of“al‘‚Øl“or˜ders“inŽ¡‘Çthe–“çc‘ÿ}'one“¸C‘•WÛ.Ž©MLÓProQÇof.ŽŽ‘$ö²This–2follo¸ãws“from“the“proGof“of“Theorem“2.2“in“[ï5html:11Ž‘ ï html:Ž› ]“or“Theorem“27.2“in“[ï@html:10Ž˜ï html:Ž˜]Ž¡b¸ãy–7ï html:Ÿ 9ÓLemma‘ÕT3.3.ŽŽ‘?ª•ÛIf–èµX‘(^²=‘_|µX‘ÈâŸü^ÿÞMŽ‘ ‹«Ûis“c–ÿ}'onne“cte“d,›ýand–èµ zŸü^ÿÞMŽ‘ÌCÛis“mixing,˜then“µ zŸü^ÿÞMŽ‘ÌCÛis“mixing“ofŽ¡al‘‚Øl‘“çor‘ÿ}'ders.Ž¦ÓProQÇof.ŽŽ‘$ö²This–UUis“pro•¸ãv“ed–UUin“[ï5html:11Ž‘ ï html:Ž‘ ].’Ü®5ÕŽŽŽŸ‘²According–}ito“Lemma“ïhtml:3.2Ž›Çï html:,‘¨™in“order“to“pro•¸ãv“e–}iTheorem“ïhtml:1.3Ž˜ï html:“it“is“sucien¸ãt“to“considerŽ¡mixing–‹¹actions“of“the“form“µ zŸü^ÿÞR´=ÞpŽ‘@²on“µX‘ÈâŸü^ÿÞR´=ÞpŽ‘Aï².‘òIf“µX‘ÈâŸü^ÿÞR´=ÞpŽ‘Í¨²is“connected,‘™Rthen“b¸ãy“LemmaŽ¡ïhtml:3.3Ž‘Çï html:–UUthe“action“µ zŸü^ÿÞR´=ÞpŽ‘×Ü²is“mixing“of“all“orders,“whicš¸ãh“pro˜v˜es“Theorem“ïhtml:1.3Ž‘Çï html:“(a).ŽŸa‘Assume–cLtherefore“that“µX‘ÈâŸü^ÿÞR´=ÞpŽ‘¥;²is“not“connected.‘›«It“folloš¸ãws“that“µp–Þ^²=“c˜harŽ‘,–(Ž‘%ÝRµ=Ýp²)ŽŽ‘4 isŽŸIôa–êrational“prime.‘NLet“ÝRŸÿ´pŽ‘fj²=‘Ç×FŸÿ´pŽ›ŸR²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ– ¼tµ;‘ª¨uŸû¸ä·±2ŽŸñÂ2ŽŽ“²];‘ Ïthen–êÝRµ=Ýp“²bGecomes“ÝRŸÿ´pŽ˜µ=Ýq“²for“a“prime“idealŽŽŽŒ‹vÛ |4ù ýš’™œ=ÜThr–ÿi>e“e›$øR“esults˜on˜Mixing˜Shap“es‘]»˜ïhtml:ï html:²7ŽŽŽ N ýÌ‘6à¤Ýq–ôÐ¸“ÝRŸÿ´pŽ‘ŸR².‘ÄNotice–pÃthat“the“ideal“Ýq“²maš¸ãy“bGe“¸f²0¸g²:‘¨¤in“this“case“the“original“ideal“Ýp“²m˜ustŽŸ¦d‘6à¤ha•¸ãv“e–L7bšGeen“µp–&¤¸“×Z²[µuŸû¸ä·±1ŽŸñÂ1ŽŽ– ¼tµ;‘ª¨uŸû¸ä·±1ŽŸñÂ2ŽŽ“²].‘n½The–L7corresp˜onding“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“is“the“full“t•¸ãw“o-dimensionalŽ¤‘6à¤shift–!+on“µp“²symš¸ãbGols“whic˜h“is“mixing“of“all“orders.‘`dF‘ÿ*ªrom“no˜w“on“w˜e“therefore“assumeŽ¡‘6à¤that–‹.Ýq“²is“non-zero.‘QBy“PropšGosition“25.5“of“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ],‘Ø£if“µ‘”¨²is“ergo˜dic“then“Ýq“²m¸ãust“b˜eŽ©a‘6à¤principal,›°Çso–ž}it“is“enough“to“loGok“at“mixing“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-actions“of“the“form“µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘ªÁ²,˜whereŽ¡‘6à¤µf‘Ú§¸2›ÇÝRŸÿ´pŽ‘ŸR².‘a·F‘ÿ*ªor–%$an¸ãy“pGolynomial“µg‘"ñ¸2˜ÝRŸÿ´pŽ‘ŸR²,‘.Çlet“µC‘·H‘Ïþ²(µg[Ù²)“denote“the“con•¸ãv“ex›%$h“ull˜of˜SuppŽ‘^(µg[Ù²).Ž¡‘6à¤ChoGose–œDa“nite“set“of“orienš¸ãted“lines“through“the“origin“¸L²(µf‘²)“with“the“follo˜wingŽ¡‘6à¤propGerties:Ž‘6à¤ŸÑ!ïhtml:ï html:Ÿ 9‘8ä(i)ŽŽŽ‘ÇF‘ÿ*ªor–åyeacš¸ãh“extreme“pGoin˜t“Ón“²of“µC‘·H‘Ïþ²(µf›²),‘ ‚there“is“a“line“µ`²(Ón²)–·S¸2“L²(µf˜²)–åysuc¸ãh“thatŽ¡‘ÇµC‘·H‘Ïþ²(µf‘²)¸nfÓn¸g–ÍÚ²is“enš¸ãtirely“con˜tained“in“one“of“the“opGen“half-planes“dened“b˜yŽ¡‘Çthe–UUline“parallel“to“µ`²(Ón²)“through“Ón².ŽŸ€ïhtml:ï html:Ÿ €‘qÇ(ii)ŽŽŽ‘ÇAll–UUthe“cones“dened“b¸ãy“¸L²(µf‘²)“are“strictly“acute.ŽŸ@[‘The–UUgroup“µX‘ú²=›ÇµX‘ÈâŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘¿~²has“the“follo¸ãwing“form.‘qÇIf“µf‘Ú§²=˜Ÿøü«PŽ‘ USŸÔn·2±SuppŽ‘ª°(´f‘Èä±)Ž‘6„xµfŸÿÔnŽ–‡ÓuŸü^ÿÔnŽ“²,–UUthen“ïhtml:ï html:ŽŸþ»Ÿ€ŽŽ‘$Í‹µX‘ÈâŸûÞÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘1A²=–Ç¸fÓx“¸2“×FŸûÞÿØZŸüûr°2ŽŽŸ™á´pŽŽ‘Øà¸j‘rŸöü«XŽŽŸj®“Ôn·2±SuppŽ‘ª°(´f‘Èä±)ŽŽ‘+v=µfŸÿÔnŽ‘‡µxŸÿÔn±+ÔmŽ‘õQ²=“0“¸2“×FŸÿ´pŽ‘ô§²for‘UUallŽ‘%&rÓm“¸2“×ZŸûÞÿ±2Ž‘|s¸gµ:ŽŽŽŸ€ŽŽ²(4)ŽŽŽŽŽŸ ÊcWhen–zÙdescribGed“in“this“w•¸ãa“y‘ÿ*ª,‘„:the–zÙ×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘%š²is“the“shift“on“the“closed“shift-ŽŸÐ9in•¸ãv‘ÿqÇarian“t–UUsubgroup“of“×FŸü^ÿØZŸüûr°2ŽŽŸá´pŽŽ‘g²dened“b¸ãy“(ïhtml:4Ž‘ï html:).ŽŸÛãïhtml:ï html:Ÿ áÓLemma‘ÕT3.4.ŽŽ‘?ª•ÛIf–Š¸C‘ áÛis“a“c›ÿ}'one“determine˜d“by“the“lines“¸L²(µf‘²)“Ûand“µ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘¶KÛis“mixing,Ž¦then–“çµ zŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘>¨Ûis“mixing“of“al‘‚Øl“or‘ÿ}'ders“in“¸C‘•WÛ.ŽŸ’ÓProQÇof.ŽŽ‘$ö²First–ë5notice“that“the“set“SuppŽ‘$(µf‘²)“doGes“not“lie“on“a“line“|“if“it“did,‘¬thenŽ¡µf‘ $²w¸ãould–Œ•bšGe“a“p˜olynomial“in“a“single“monomial“µt–#-²=“ÓuŸü^ÿÔnŽ‘ ±²sa¸ãy‘ÿ*ª.‘ˆIn–Œ•this“case“the“actionŽŸ œpof–¬eµŸú•W zÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽŸ®èÔnŽŽ‘W&²is“isomorphic“to“the“innite“direct“proGduct“of“one-dimensional“systemsŽ¡determined–9gb¸ãy“the“×Z²[µtŸü^ÿ·±1Ž› ¼t²]-moGdule“×Z²[µtŸü^ÿ·±1Ž˜²]µ=¸hµp;›ª¨f‘¸iµ:“²Since“the“ideal“¸hµp;˜f‘¸i“²is“non-principalŽ¡and›±ç×Z²[µtŸü^ÿ·±1Ž‘ ¼t²]–(}¸ “×Q˜²is˜a˜principal˜ideal˜domain,‘Éthe˜group˜×Z²[µtŸü^ÿ·±1Ž‘ ¼t²]µ=¸hµp;‘ª¨f‘¸i˜²is˜nite˜(seeŽŸ*©Examples–lˆ6.17(3)“in“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ]).‘·_It“follo¸ãws“that“µŸú•W zÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽŸ®èÔnŽŽ‘I²is“p•Gerio“dic–lˆand“therefore“cannotŽ¡bGe‘UUmixing.Ž¡‘Fix–;the“cone“¸C‘•W².‘"ÚWith“the“c¸ãhosen“ordering“describGed“in“Section“ïhtml:1Ž‘ï html:,‘trthe“cone“¸CŽ¡²is–Gdened“bš¸ãy“a“\bGottom"“half-line“µ`Ÿÿ±1Ž‘ÃŒ²and“a“\top"“half-line“µ`Ÿÿ±2Ž‘|s².‘GEac˜h“pGolynomialŽ¡µh–˜©¸2“ÝRŸÿ´pŽ‘ ÿ²denes–la“cš¸ãharacter“on“µX‘a‹²=‘˜©µX‘ÈâŸü^ÿÞRŸ³pŽ‘2Ô´=·h´f‘Èä·iŽ‘j)².‘·ÏTw˜o“pGolynomials“µhŸÿ±1Ž›é ²and“µhŸÿ±2Ž˜²willŽŸÎ0dene–³nthe“same“cš¸ãharacter“if“µhŸÿ±1Ž‘ô¸‘w›µhŸÿ±2Ž‘à_¸2‘cìhµf‘¸i².‘ŒDenote“b˜y“Ÿ÷Û ‰feÂ÷Ÿ$öµhŽŽ‘ )Ó²a“single“c˜haracter“on“µX‘Èâ²,ŽŸqÀand–ÍXlet“µh“²denote“anš¸ãy“pGolynomial“that“denes“that“c˜haracter.‘DsEac˜h“c˜haracter“Ÿ÷Û ‰feÂ÷Ÿ$öµhŽŽ‘]§²withŽŸÎ:SuppŽ‘8è(µh²)–óÇ¸“C‘Ÿ²has– ¿a“distinguished“represen•¸ãtativ“eŸý\q‘Ý«eŽŸ£‘ ¿µhŽŽ‘ Ì¶²,‘6Ùdened– ¿as“follo¸ãws.‘Let“µBŸÿ´fŽ‘/ ²(¸C‘•W²)Ž¡denote–²Bthe“half-opšGen“strip“along“the“b˜ottom“(=‘aøµ`Ÿÿ±1Ž‘|s²)“edge“of“¸C‘•W²,‘É}with“width“exactlyŽ© \sequal–:to“the“width“of“µC‘·H‘Ïþ²(µf‘²)“in“the“direction“orthogonal“to“µ`Ÿÿ±1Ž‘|s².‘"uThe“pGolynomialŸý\q‘c|«eŽŸ£“µhŽŽŽ¡²is–UUdened“bš¸ãy“the“follo˜wing“t˜w˜o“propGerties:ŽŸ”‘8ä(i)ŽŽŽŸý\q‘ša«eŽŸ£‘ÇµhŽŽ‘&ßk²denes–UUthe“c¸ãharacter“Ÿ÷Û ‰feÂ÷Ÿ$öµhŽŽ‘ L².Ž¦‘qÇ(ii)ŽŽŽ‘ÇSuppŽ‘4(Ÿý\qÓB«eŽŸ£µhŽŽ‘Â÷²)–Ç¸“µBŸÿ´fŽ‘/ ²(¸C‘•W²).ŽŸßZ‘There–+ris“sucš¸ãh“a“represen˜tativ˜e:‘\Öb˜y“construction“there“is“a“line“parallel“to“µ`Ÿÿ±1Ž‘§å²thatŽ¡meets‘ BSuppŽ‘Ù*(µf‘²)– Bin“a“singleton“and“has“the“propGertš¸ãy“that“an˜y“other“line“parallelŽ¡to›:µ`Ÿÿ±1Ž‘~²abGo•¸ãv“e˜it˜doGes˜not˜meet˜SuppŽ‘;"(µf‘²).‘xwIt˜follo“ws˜that˜if˜Ón–ç?¸2“²SuppŽ‘ '(µh²)¸nµBŸÿ´fŽ‘/ ²(¸C‘•W²),‘-sanŽ¡appropriate–ÞIm¸ãultiple“(of“the“form“µcÓuŸü^ÿÔmŽ‘µf›ñØ²with“µc–«X¸2“×FŸÿ´pŽ‘ŸR²)–ÞIof“µf˜²ma¸ãy“bGe“added“to“µh“²toŽ¡giv¸ãe–—ŽµhŸü^ÿ·0Ž‘eÇ²with“Ón‘Qéµ=ŽŽ‘5w¸2ŽŽŽŽ‘ š²SuppŽ‘#N‚(µhŸü^ÿ·0Ž›Î9²)“and“with“the“top“edge“of“SuppŽ‘Ðv(µhŸü^ÿ·0Ž˜²)“the“same“as“the“topŽŽŽŒ‹‹ì |4ù ýš‘6à¤ïhtml:ï html:²8Ž’ÕGÜT.‘$øWar‘ÿi>dŽŽ N ýÌ‘6à¤²edge–[´of“SuppŽ‘”œ(µh²)“at“all“pGoinš¸ãts“other“than“Ón².‘„äAfter“nitely“man˜y“suc˜h“additions,‘]Lw˜eŽŸ \s‘6à¤end–UUup“with“the“desired“pGolynomialŸý\q‘(—«eŽŸ£“µhŽŽ‘ L².Ž¤ V‘6à¤ïhtml:ï html:Ñclaim‘Ç1:‘qÇ²The›UUrepresen•¸ãtativ“eŸý\q‘(—«eŽŸ£˜µhŽŽ‘m¡²is˜unique.‘qÇThat˜is,˜Ÿ÷Û ‰fe ?jŸ$öµhŸÿ±1ŽŽŽ–[×²=‘ÇŸ÷Û ‰fe ?jŸ$öµhŸÿ±2ŽŽŽ“²if˜and˜only˜ifŸý\q‘u «fŽŸ£˜µhŸÿ±1ŽŽŽ“²=Ÿý\q‘æÍ«fŽŸ£‘ÇµhŸÿ±2ŽŽŽ‘ ‚µ:Ž¡‘Bà¤²T‘ÿ*ªo–¨‹see“this,›½Xrst“notice“that“ifŸý\q‘È@«fŽŸ£“µhŸÿ±1ŽŽŽ‘9¼²=Ÿý\q‘q|«fŽŸ£‘QÇµhŸÿ±2ŽŽŽ‘ ‘1²,˜then“Ÿ÷Û ‰fe ?jŸ$öµhŸÿ±1ŽŽŽ‘9¼²=‘QÇŸ÷Û ‰fe ?jŸ$öµhŸÿ±2ŽŽŽ‘ ‘1².‘kiNo¸ãw“the“set“µBŸÿ´fŽ‘/ ²(¸C‘•W²)“has,Ž¤–¾‘6à¤bš¸ãy–e|construction,‘i†the“follo˜wing“propGert˜y:‘’giv˜en“an˜y“elemen˜t“Óy‘ è¸2‘â×FŸú…²´BŸ¥³fŽ‘‚±(·CY±)ŽŸ¥ª´pŽŽ‘þ\²,‘i†there“is“anŽ©‘6à¤elemen•¸ãt›ë@Óy(äŸü^ÿ·Ž‘‚»¸2‘ÀóµX‘´"²suc“h˜that˜Óy(äŸü^ÿ·Ž‘²restricted˜to˜µBŸÿ´fŽ‘/ ²(¸C‘•W²)˜coincides˜with˜Óy(ä².‘3‡This˜is˜clearŽŸ ÿÿ‘6à¤from–¢ï(8).‘Z•If“thenŸý\q‘Â¤«fŽŸ£“µhŸÿ±1ŽŽŽ‘*Æ¸6²=Ÿý\q‘h"«fŽŸ£‘HmµhŸÿ±2ŽŽŽ‘ ‡×²,‘¶Uthere“is“a“pGoinš¸ãt“Ón–Hm¸2“µBŸÿ´fŽ‘/ ²(¸C‘•W²)–¢ïwith“(µhŸÿ±1Ž–|s²)ŸÿÔnŽ‘Ï‰¸6²=‘Hm(µhŸÿ±2Ž“²)ŸÿÔnŽ‘‡²;‘É¼c˜hoGoseŽ¡‘6à¤Óy‘Û¸2‘ï÷×FŸú…²´BŸ¥³fŽ‘‚±(·CY±)ŽŸ¥ª´pŽŽ‘Ñ²with–uthe“propGertš¸ãy“that“the“c˜haracters“dened“b˜y“µhŸÿ±1Ž›ƒè²and“µhŸÿ±2Ž˜²dier“onŽŸy‘6à¤this–UUpGoin¸ãt.‘qÇThen“Ÿ÷Û ‰fe ?jŸ$öµhŸÿ±1ŽŽŽ›ê²and“Ÿ÷Û ‰fe ?jŸ$öµhŸÿ±2ŽŽŽ˜²m¸ãust“dier“on“Óy(äŸü^ÿ·Ž‘ÁÈ².Ž¦‘Bà¤F‘ÿ*ªor–Ûa“cš¸ãharacter“Ÿ÷Û ‰feÂ÷Ÿ$öµhŽŽ‘ä²with“SuppŽ‘IÃ(µh²)–Ç¸“C‘¦2²dene–Ûa“n˜um˜bšGer“µr˜²(Ÿ÷Û ‰feÂ÷Ÿ$öµhŽŽ‘Â÷²)“b¸ãy“µr˜²(Ÿ÷Û ‰feÂ÷Ÿ$öµhŽŽ‘Â÷²)–Ç=“µk‘ar²if–Ûthe“lineŽŸ \s‘6à¤orthogonal–¤ôto“µ`Ÿÿ±2Ž‘!g²most“distanš¸ãt“from“the“origin“that“in˜tersects“SuppŽ‘ÝÜ(Ÿý\qÓB«eŽŸ£µhŽŽ‘Â÷²)“meets“µ`Ÿÿ±1Ž‘!g²atŽ¦‘6à¤distance–UUµk‘¥ì²from“the“origin.Ž¦‘6à¤ïhtml:ï html:Ñclaim‘Ç2:‘qÇ²If›UUÓn–Ç¸2“C‘•W²,˜then˜µršG²(ÓuŸü^ÿÔnŽ‘‡µh²)“µ>“r˜²(µh²)µ:ŽŸW·‘Bà¤²This–HWis“clear:‘ëHthe“pšGolynomial“ÓuŸü^ÿÔnŽ‘#Û«eŽ‘‡µmŽŽ‘—*²has“an“asso˜ciated“represen•¸ãtativ“eŸýhL‘/¾×]ŽŸ—´‘HWÓuŸýrÔnŽ‘#Û«eŽ‘‡µmŽŽŽŽ‘C ²obtainedŽ¦‘6à¤bš¸ãy–Óadding“m˜ultiples“of“monomials“times“µf›².‘]ñThere“is“a“face“of“µC‘·H‘Ïþ²(µf˜²)“orthogonal“toŽ¦‘6à¤µ`Ÿÿ±2Ž‘|s²,–UUso“the“suppšGort“of“the“resulting“p˜olynomial“mo•¸ãv“es–UUfurther“a•¸ãw“a“y–UUfrom“the“origin.Ž¦‘Bà¤Noš¸ãw–„gconsider“propGert˜y“(ïhtml:3Ž‘ï html:).‘,#Let“µmŸÿ±1Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨mŸÿ´rŽ‘ò ²bšGe“a“collection“of“p˜olynomials,‘®1not“allŽ¦‘6à¤zero,›êÂwith‘ÐSuppŽ‘ (µmŸÿ´iŽ‘TL²)–Ç¸2“C‘eu²(if–Ðthis“is“not“the“case,˜mš¸ãultiply“all“of“them“b˜y“a“monomialŽ¦‘6à¤ÓuŸü^ÿÔnŽ‘ Dæ²to–½Êensure“their“suppGorts“mo•¸ãv“e›½Êin“to˜¸C‘•W²).‘«'By˜the˜ïhtml:secondŽ‘ñÊï html:˜claim,‘×çif˜ÓnŸÿ±2Ž‘|sµ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨ÓnŸÿ´rŽ‘âÒ¸2‘u0CŽŸ@–‘6à¤²are–÷Ülarge“enough,‘ ~then“for“eacš¸ãh“µj‘hƒ²=‘Õø2µ;–ª¨:“:“:Ž‘ÿ÷;‘ª¨r‘>ù²the“set“SuppŽ‘0Ä(Ÿý?i‘Ò·×^ŽŸÀ—ÓuŸüóÔnŸ°1Ž‘ç ±+·Ž‘ ±+ÔnŸ³jŽŽ‘%˜ÙµmŸÿ´jŽŽŽ‘8úÈ²)“con˜tainsŽ¦‘6à¤pGoin¸ãts–UUnot“inŽŸZP‘w¯SuppŽ’çý(Ÿþ¡1‘àL×^ŽŸ^ÏÓuŸýrÔnŸ°1ŽŽ‘ n<µmŸÿ±1ŽŽŽ‘NÒ²+ŸýhL‘¢×^ŽŸ—´‘8àÓuŸýrÔnŸ°1Ž‘ç ±+ÔnŸ°2ŽŽ‘€µmŸÿ±2ŽŽŽ‘0™~²+‘8à¸–ª¨“Ž‘g²+Ÿý?i‘’¹×^ŽŸÀ—‘8àÓuŸüóÔnŸ°1Ž‘ç ±+·Ž‘ ±+ÔnŸ³jK}¶°1ŽŽ‘.j¨µmŸÿ´jg·±1ŽŽŽ‘NAë²)µ:Ž¤§ó‘6à¤²By–UUthe“ïhtml:rstŽ‘N;ï html:“claim,“it“folloš¸ãws“that“the“c˜haracterŽ¡’‰Ï¼ÓuŸûÞÿÔnŸ°1ŽŽ‘ n<µmŸÿ±1Ž–µS²+›8àÓuŸûÞÿÔnŸ°1Ž‘ç ±+ÔnŸ°2ŽŽ‘€µmŸÿ±2Ž“²+˜¸–ª¨“Ž‘g²+˜ÓuŸûÞÿÔnŸ°1Ž–ç ±+ÔnŸ°2Ž“±+·Ž‘ ±+ÔnŸ³rŽŽ‘4õûµmŸÿ´rŽŽ¡‘6à¤²is–UUnon-trivial,“pro¸ãving“Lemma“ïhtml:3.4Ž‘Çï html:.’ÊÎÕŽŽŽŸ¦Ë‘6à¤ÓProQÇof–ÕTof“Theorem“ïhtml:1.3Ž‘±Âï html:.ŽŽ’«uÕ²Let–ýyÝM“²bšGe“the“ÝR²-mo˜dule“asso˜ciated“to“the“action“µ‘ó²onŽ¦‘6à¤µX‘Èâ².‘HYAs–Ù pšGoin¸ãted“out“ab˜o•¸ãv“e,‘ñå(ïhtml:aŽ‘ï html:)›Ù follo“ws˜from˜Lemma˜ïhtml:3.3Ž‘Çï html:,‘ñåso˜w“e˜ma“y˜assume˜that˜µX‘¡ë²isŽ¦‘6à¤not–Aconnected“and“µ‘ »²acts“expansivš¸ãely‘ÿ*ª.‘]By“Corollary“6.13“of“[ï@html:10Ž‘ ï html:Ž‘ ],‘#«it“follo˜ws“that“theŽ¦‘6à¤ÝR²-mošGdule–ÝM“²is“No˜etherian,‘ Rso“there“are“only“nitely“man¸ãy“prime“ideals“asso˜ciatedŽ¦‘6à¤to–g0ÝM“²(see“Theorem“6.5,‘k§Chapter“2“of“[ï2html:6Ž‘ï html:Ž‘]).‘§YLet“¸L“²bGe“the“nite“set“of“lines“givš¸ãen“b˜yŽ¦‘6à¤the–"™union“of“the“set“of“lines“cš¸ãhosen“bGefore“Lemma“ïhtml:3.4Ž‘Çï html:“for“eac˜h“of“the“assoGciatedŽ¦‘6à¤prime–L?ideals.‘nÀThen“anš¸ãy“cone“¸C‘á–²dened“b˜y“¸L“²is“a“sub-cone“of“a“cone“in“Lemma“ïhtml:3.4Ž‘Çï html:,Ž¦‘6à¤so–UUbš¸ãy“Lemma“ïhtml:3.2Ž‘Çï html:“the“action“µ‘Ð’²=‘Çµ zŸü^ÿÞMŽ‘9’²is“mixing“of“all“orders“in“¸C‘•W²,“pro˜ving“(ïhtml:bŽ‘Ž:ï html:).Ž¦‘Bà¤Finally‘ÿ*ª,–UU(ïhtml:cŽ‘qÇï html:)“folloš¸ãws“from“Example“ïhtml:3.5Ž‘Çï html:(ïhtml:2Ž‘ï html:)“bGelo˜w.’†ûÕŽŽŽ‘6à¤Ÿ &Ëïhtml:ï html:Ÿ €ÓExample‘ÕT3.5.ŽŽ‘F_è²(ïhtml:ï html:1)–‡An“example“to“illustrate“Theorem“ïhtml:1.3Ž‘Çï html:(b)“is“givš¸ãen“b˜y“Ledrap-Ž¦pier's– îexample“[ï'html:5Ž‘ï html:Ž‘]“for“whic¸ãh“the“shapGe“¸f²(0µ;–ª¨²0)µ;“²(0µ;“²1)µ;“²(1µ;“²0)¸g– î²is“non-mixing.‘’’In“theŽ¦ÝR²-mošGdule–UUdescription,“Ledrappier's“example“corresp˜onds“to“the“mo˜duleŽŸG–Ÿù<$’®x…ÝRŽ’‘0Ÿw‰feCƒŸ (Ö¸h²2µ;‘ª¨²1–8à+“µuŸÿ±1Ž‘µS²+“µuŸÿ±2Ž‘|s¸iŽŽŽŽ’ÕZæµ:ŽŸõÃ²In–the“notation“of“Section“ïhtml:3Ž‘ï html:,‘tthis“means“that“the“prime“µp“²is“2“and“the“pGolynomialŽ¦µg‘Å²is›i91–F#+“µuŸÿ±1Ž‘Â–²+“µuŸÿ±2Ž‘|s².‘tThe˜con•¸ãv“ex˜h“ull˜is˜µC‘·H‘Ïþ²(µg[Ù²)–è?=“¸f²(µs;›ª¨t²)“¸2“×RŸü^ÿ±2Ž‘d²¸j“²0“¸“µs;˜t“¸“²1µ;˜s–F#²+“µt–è?¸“²1¸gŽ¦²with–˜çextreme“pGoin¸ãts“(0µ;–ª¨²0)µ;“²(0µ;“²1)µ;–˜ç²and“(1µ;‘ª¨²0).‘<|A‘˜“suitable“set“of“lines“that“satisfyŽ¦propGerties–‚(ïhtml:iŽ‘Çï html:)“and“(ïhtml:iiŽ‘Ž:ï html:)“are“the“vš¸ãe“orien˜ted“lines“through“the“origin“and“the“pGoin˜tsŽŽŽŒ‹ ¢¤ |4ù ýš’™œ=ÜThr–ÿi>e“e›$øR“esults˜on˜Mixing˜Shap“es‘]»˜ïhtml:ï html:²9ŽŽŽ N ýÌ‘6à¤(1µ;–ª¨²0)µ;“²(¸²1µ;“²1)µ;“²(¸²1µ;“¸²1)µ;“²(1µ;“¸²2)–OXand“(1µ;‘ª¨²2).‘sNotice“that“there“are“man¸ãy“other“pGossibleŽ¤‘6à¤cš¸ãhoices,‘Þžthough–öall“of“them“ha˜v˜e“at“least“v˜e“lines.‘!«The“statemen˜t“(ïhtml:bŽ‘Ž:ï html:)“for“thisŽ¡‘6à¤example–éRis“then“that“mixing“of“all“orders“in“the“sense“of“equation“(ïhtml:1Ž‘ï html:)“oGccurs“in“eac¸ãhŽ¡‘6à¤of–UUthe“v¸ãe“assoGciated“cones.Ž¡‘6à¤(ïhtml:ï html:2)–sôWithout“the“assumption“that“the“group“bšGe“connected“or“that“the“action“b˜eŽ¡‘6à¤expansiv•¸ãe,‘Ô:there›‡¦ma“y˜bGe˜no˜cones˜in˜whic“h˜mixing˜of˜all˜orders˜can˜oGccur.‘¹AnŽ¡‘6à¤example–âóto“shoš¸ãw“this“starts“again“with“Ledrappier's“example“[ï'html:5Ž‘ï html:Ž‘]“for“whic˜h“theŽ¡‘6à¤shapGe›¨¸f²(0µ;–ª¨²0)µ;“²(0µ;“²1)µ;“²(1µ;“²0)¸g˜²is˜non-mixing,‘*dand˜applies˜linear˜maps˜in˜×ZŸü^ÿ±2Ž‘œ²to˜proGduceŽ¡‘6à¤similar–œ=examples“for“whicš¸ãh“an˜y“giv˜en“triangle“is“a“non-mixing“shapGe.‘4Since“an˜y“coneŽ¡‘6à¤subtending–äa“pGositivš¸ãe“angle“con˜tains“some“triangle,‘ú¸the“proGduct“of“these“(coun˜tablyŽ¡‘6à¤manš¸ãy)–UUexamples“giv˜es“the“required“example.‘qÇLetŽŸ$^’“LGÝM–Ç²=‘‡þŸöü«MŽŽŸj®“´a·2ØZ·nf±0·g´;b·2ØZŽŽŸù<$‘aaÝRŽ‘4C4Ÿw‰feaÞ3Ÿ V¼¸h²2µ;‘ª¨²1–8à+“µuŸüŽ:´aŽŸl±1ŽŽ›ÖpµuŸüŽ:´bŽŸl±2ŽŽ‘µS²+“µuŸüŽ:´aŽŸl±1ŽŽ˜µuŸû¸ä´b±+1ŽŸñÂ2ŽŽ‘$G¸iŽŽŽŽ’—Tšµ:ŽŸE ‘6à¤²Then–ÿBthe“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“correspšGonding“to“the“mo˜dule“ÝM“²is“not“mixing“on“the“shap˜esŽ¡‘6à¤¸f²(0µ;–ª¨²0)µ;“²(µa;“b²)µ;“²(µa;“b–Â_²+“1)¸g–²for“eacš¸ãh“µa–Ç¸6²=“0,‘%îµb“¸2“×Z².‘^It–follo˜ws“that“µ zŸü^ÿÞMŽ‘þQ²cannot“bGe“mixingŽ¡‘6à¤of–UUall“orders“in“anš¸ãy“cone“subtending“a“pGositiv˜e“angle.Ž‘6à¤Ÿ=ïhtml:ï html:Ÿ9Ï4.Ž‘ãˆÐRemarksŽ©ïhtml:ï html:¡‘²I‘,Xthank–,bProf.‘d!F‘ÿ*ªried“for“pšGoin¸ãting“out“[ï)html:2Ž‘ï html:Ž‘]“and“the“connection“b˜et•¸ãw“een–,bthe“Bertini-Ž¡NošGether–OšTheorem“and“irreducibilit¸ãy‘ÿ*ª.‘oÞThe“Gaussian“construction“ab˜o•¸ãv“e–Ošis“based“onŽ¡that–œ“of“F‘ÿ*ªerenci“and“KamiG‘ú¸ânski,‘Á‡who“used“it“to“exhibit“a“rigid“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“eac¸ãh“of“whoseŽ¡elemenš¸ãts–h·is“a“Bernoulli“shift;‘riI‘h²thank“Prof.‘«îKamiG‘ú¸ânski“for“sho˜wing“me“a“preprin˜t“ofŽ¡the–^vpapšGer“[ï;html:1Ž‘ï html:Ž‘].‘+Mixing“prop˜erties“in“the“p˜ositivš¸ãe“quadran˜t“and“their“relationship“toŽ¡mixing–UUpropGerties“of“a“complete“×ZŸü^ÿ±2Ž‘|s²-action“are“discussed“in“[ï/html:7Ž‘ï html:Ž‘].ŽŸËLïhtml:ï html:Ÿ€ÐReferencesŽ¦ï:html:ï html:¤ ‘@¹[1]ŽŽ‘xôS.–€F‘ÿJªerenci“and“B.“Kaminski,‘ªÊÌZer•¥o›±2entr“opy˜and˜dir“e“ctional˜Bernoulp[licity˜of˜a˜Gaussian˜»Z‘¶Ÿý-:º2ŽŽ¡‘xôÌaction¹,–ÕXProšï html:©‘@[2]ŽŽ‘xôM.D.–ÕXF‘ÿJªried“and“M.“Jarden,“ÌField‘~AÇÒrithmetic¹,“Springer,“Berlin,“1986.Ž¡ï+html:ï html:¦‘@[3]ŽŽ‘xôE.‘òÇGourin,‘ú#ÌOn›-Ùirr•¥e“ducible˜p“olynomials˜in˜sever“al˜variables˜which˜b“e“c“ome˜r“e“ducible˜when˜theŽ¤ ‘xôvariables–úžarš¥e“r˜eplac˜e˜d“by“p˜owers“of“themselves¹,‘ ŠT‘ÿJªransactions–Ïof“the“Amer.“Math.“Soï html:¦‘@[4]ŽŽ‘xôB.–haKitcšÃŽhens“and“K.“Sc˜hmidt,‘Í#ÌMixing–‰sets“and“rš¥elative“entr˜opies“for“higher{dimensionalŽ¡‘xôMarkov‘~shifts¹,–ÕXErgoï html:¦‘@[5]ŽŽ‘xôF.‘xÇLedrappier,‘‹KÌUn–¼vchamp“markovien“p•¥eut‘„H^‘ûÔŸetr“e›¼vd'entr“opie˜nulp[le˜et˜mÇÒ‘ûÔŸelange“ant¹,‘‹KComptes‘xÇRen-Ž¡‘xôdus–ÕXAcad.“Sci.“PÃŽaris“É287“¹(1978),“561{562.Ž¤ï1html:ï html:¦‘@[6]ŽŽ‘xôH.–ÕXMatsumšÃŽura,“ÌCommutative–~RÇÒing“The¥ory¹,–ÕXCam˜bridge“Univ˜ersit˜y“Press,“Cam˜bridge,“1986.Ž¡ï.html:ï html:¦‘@[7]ŽŽ‘xôG.–1+Morris“and“T.“W‘ÿJªard,›H ÌA‘g¿note–gÕon“mixing“pr•¥op“erties–gÕof“invertible“extensions¹,˜Acta.‘1+Math.ŽŸ ‘xôUniv.–ÕXComenianae“É67“¹(1997).Ž¡ï0html:ï html:¦‘@[8]ŽŽ‘xôT.–½de“la“Rue,‘ÁèÌEntrš¥opie–ûéd'un“systÇÒ‘ûÔŸeme“dynamique“gaussien:‘çéc˜as“d'une“action“de“»Z‘¶Ÿý-:¼dŽ‘ë¹,‘ÁèComptesŽŸ ‘xôRendus–ÕXAcad.“Sci.“PÃŽaris“É317“¹(1993),“191{194.Ž¡ï0html:ï html:¦‘@[9]ŽŽ‘xôA.‘l‹ScÃŽhinzel,›ÌSele•¥cte“d–±T‘ÿWwopics“on“Polynomials¹,˜Univ•ÃŽersit“y–l‹of“MicÃŽhigan“Press,˜Ann“Arbï html:¦[10]ŽŽ‘xôK.–ÕXScÃŽhmidt,“ÌDynamicš¥al–~Systems“of“AÇÒlgebr˜aic“Origin¹,–ÕXBirkh‘û¿üauser,“Basel,“1995.Ž¡ï4html:ï html:¦[11]ŽŽ‘xôK.–aScÃŽhmidt“and“T.“W‘ÿJªard,‘3ÆÌMixing–VÉautomorphisms“of“c•¥omp“act›VÉgr“oups˜and˜a˜the“or“em˜of˜Schlick-ŽŸ ‘xôewei¹,›ÕXIn•ÃŽv“en“tiones˜Math.˜É111˜¹(1993),˜69{76.Ž¡ï(html:ï html:¦[12]ŽŽ‘xôH.–ÕXT‘ÿJªotoki,“ÌEr•¥go“dic‘~The“ory¹,–ÕXAarhšÃŽus“Univ˜ersit˜y“Lecture“Notes“É14“¹(1969).Ž¡ï)html:ï html:¦[13]ŽŽ‘xôA.‘T²W‘ÿJªeil,‘t‰ÌF‘ÿWwoundations–ˆÚof“AÇÒlgebrš¥aic“Ge˜ometry¹,›t‰American–T²Mathematical“Soï html:²10Ž’ÕGÜT.‘$øWar‘ÿi>dŽŽ N ýÌ‘Bà¤ïhtml:ï html:ÈSchool–#Žof“Ma–ÿuUthema“tics,–#ŽUniversity“of“East“Anglia,“Nor‘ÿGwich“NR4“7TJ,“U.K.ŽŸ ‘Bà¤¹t.wÃŽard@uea.ac.ukŽ‘6à¤ïhtml:ï html:ŽŽŒøÕÅƒ’À;è|4ùžà¤ ó3Xí&eufm7ó2%n² eufm10ó1F C– cmbxti10ó0ý': cmti10ó/Kñ`yff cmdunh10ó-qyÀmsbm7ó,ˆ¶È msbm10ó*—³îÍ msam10ó)f$Øcmbx7ó(ò"V cmbx10ó&Œ-ø cmcsc10ó%ÂÖN cmbx12ó$X«Qcmr12ó#ÂÖN ffcmbx12ó!#Ñfcmti8ó2Ç@Écmbx8ó¡f…åcmcsc8óq¡%cmsy6ó¾KÈcmsy8óÍ¾Îcmmi6ó×2cmmi8ó¹Aa¨cmr6ó|{Ycmr8ó !",š cmsy10óO!â…cmsy7ó°Ü0ncmsy5ó b> cmmi10ó 0e—rcmmi7óO Ú\cmmi5óKñ`y cmr10óÙ“ Rcmr7ó†›Zcmr5óú±u cmex10ù×ßßßßßßß